Số phức cho phép giải một phương trình nhất định mà không giải được trong trường số thực. Ví dụ, phương trình

( x + 1 ) 2 = − 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9\,}

không có nghiệm thực, vì bình phương của một số thực không thể âm. Các số phức cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sang đơn vị ảo ı {\displaystyle \imath } với ı 2 = − 1 {\displaystyle \imath ^{2}=-1} , vì vậy phương trình trên được giải. Trong trường hợp này các nghiệm là −1 + 3i và −1 − 3i, có thể kiểm tra lại nghiệm khi thế vào phương trình và với ı 2 = − 1 {\displaystyle \imath ^{2}=-1} :

[ ( − 1 + 3 i ) + 1 ] 2 = ( 3 i ) 2 = ( 3 2 ) ( i 2 ) = 9 ( − 1 ) = − 9 {\displaystyle [(-1+3i)+1]^{2}=(3i)^{2}=(3^{2})(i^{2})=9(-1)=-9} [ ( − 1 − 3 i ) + 1 ] 2 = ( − 3 i ) 2 = ( − 3 ) 2 ( i 2 ) = 9 ( − 1 ) = − 9 {\displaystyle [(-1-3i)+1]^{2}=(-3i)^{2}=(-3)^{2}(i^{2})=9(-1)=-9}

Thực tế không chỉ các phương trình bậc hai mà tất cả các phương trình đa thức có số thực hoặc số ảo với một biến số có thể giải bằng số phức.

Định nghĩa

Số phức được biểu diễn dưới dạng a + b ı {\displaystyle a+b\imath } , với a và b là các số thực và i là đơn vị ảo, thỏa mãn điều kiện ı 2 = − 1 {\displaystyle \imath ^{2}=-1} . Ví dụ − 3 , 5 + 2 ı {\displaystyle -3,5+2\imath } là một số phức.

Số thực a được gọi là phần thực của a + b ı {\displaystyle a+b\imath } ; số thực b được gọi là phần ảo của a + b ı {\displaystyle a+b\imath } . Theo đó, phần ảo không có chứa đơn vị ảo: do đó b, không phải bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hay ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hay ℑ(z). Ví dụ:

Re ⁡ ( − 3.5 + 2 i ) = − 3.5 Im ⁡ ( − 3.5 + 2 i ) = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (-3.5+2i)&=-3.5\\\operatorname {Im} (-3.5+2i)&=2\end{aligned}}}

Do đó, nếu xét theo phần thực và phần ảo, một số phức z sẽ được viết là Re ⁡ ( z ) + Im ⁡ ( z ) ⋅ i {\displaystyle \operatorname {Re} (z)+\operatorname {Im} (z)\cdot i} . Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi của z.

Một số thực a có thể được biểu diễn ở dạng phức là a + 0 ı {\displaystyle a+0\imath } với phần ảo là 0. Số thuần ảo b ı {\displaystyle b\imath } là một số phức được viết là 0 + b ı {\displaystyle 0+b\imath } với phần thực bằng 0. Ngoài ra, khi phần ảo âm, nó được viết là a − b ı {\displaystyle a-b\imath } với b > 0 {\displaystyle b>0} thay vì a + ( − b ) ı {\displaystyle a+(-b)\imath } , ví dụ 3 − 4 ı {\displaystyle 3-4\imath } thay vì 3 + ( − 4 ) ı {\displaystyle 3+(-4)\imath } .

Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là ℂ, C {\displaystyle \mathbf {C} } hay C {\displaystyle \mathbb {C} } . Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề.

Gọi R {\displaystyle \mathbb {R} } là trường số thực. Ký hiệu C {\displaystyle \mathbb {C} } là tập hợp các cặp (a,b) với a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } .

Trong C {\displaystyle \mathbb {C} } , định nghĩa hai phép cộng và phép nhân như sau:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

thì C {\displaystyle \mathbb {C} } là một trường (xem cấu trúc đại số).

Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } vào C {\displaystyle \mathbb {C} } bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp ( a , 0 ) ∈ C {\displaystyle (a,0)\in \mathbb {C} } . Khi đó 0 → ( 0 , 0 ) , 1 → ( 1 , 0 ) , − 1 → ( − 1 , 0 ) {\displaystyle 0\to (0,0),1\to (1,0),-1\to (-1,0)} ... Nhờ phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } với tập con các số phức dạng ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} , khi đó tập các số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } là tập con của tập các số phức C {\displaystyle \mathbb {C} } và C {\displaystyle \mathbb {C} } được xem là một mở rộng của R {\displaystyle \mathbb {R} } .

Ký hiệu ı {\displaystyle \imath } là cặp (0,1) ∈ C {\displaystyle \in \mathbb {C} } . Ta có

ı 2 = ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) = ( − 1 , 0 ) = − 1 {\displaystyle \imath ^{2}=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)=-1} .

Số phức ı {\displaystyle \imath } được gọi là đơn vị ảo, tất cả các số phức dạng b ı {\displaystyle b\imath } được gọi là các số thuần ảo.